今回はgnuplotを用いてデータファイルをプロットする際に、データを演算してプロットする方法について紹介する。
今回は以下のdata3.txtからデータを読み込み、演算した結果を表示する。data3.txtの中身は
#X Y 0 0 0.5 2.5 1 1 1.5 -0.5 2 2 2.5 4.5 3 3 3.5 1.5 4 4 4.5 6.5 5 5 5.5 3.5 6 6 6.5 8.5 7 7 7.5 5.5 8 8 8.5 10.5 9 9 9.5 7.5 10 10
データファイルからデータを読み込んでプロットするにはplot "data3.txt"とするが、データを演算するには1行目であれば$1, 2列目では$2として、2倍するには$2*2、平方根をとるにはsqrt($2)とする。
以下、データを読み込んで何もしない場合、2列目のデータを2倍する場合、2列目のデータを平方根をとる場合をプロットするコマンドを示す。
plot "data3.txt" using 1:2 with points, \ "data3.txt" using 1:($2*2) with points, \ "data3.txt" using 1:(sqrt($2)) with points
実行結果は以下のようになる。
1列目のデータを演算する場合は$1を用いる。1列目、2列目同時に演算する場合は、以下のようにする
plot "data3.txt" using ($1**2):($2**2) with points
今回はgnuplotでデータプロットを行う際、$1や$2を用いることでファイルから読み込んだデータの演算処理できることを紹介した。
Texによる数式表現方法として前回とは別の行列を用いた連立1階微分方程式の解法について紹介する。
以下の連立1階微分方程式
<div> [tex:\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{dy_{1}}{dx} &=& ay_{1}+by_{2} \\ \frac{dy_{2}}{dx} &=& cy_{1}+dy_{2} \end{eqnarray} ] </div>
を行列で表現すると以下のようになる。
<div> [tex:\displaystyle \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} ] </div>
ここで
<div> [tex:\displaystyle {\bf{y}} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} , {\bf{A}} = \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix} ] </div>
とすれば
[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}} ]
行列Aに対して対角化可能な行列Pが存在すると
<div> [tex:\displaystyle {\bf{P}}^{-1} {\bf{A}} {\bf{P}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix} ] </div>
ここでλ1,λ2はAの固有値である。また、行列Pは
<div> [tex:\displaystyle{\bf{P}}=( {\bf{p_{1}}},{\bf{p_{2}}} ) = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{pmatrix} ] </div>
固有値λ1,λ2に対する固有ベクトルからなる行列で、それぞれの固有ベクトルは以下を満たす。
[tex:\displaystyle {\bf{Ap\_{1}}}=\lambda\_{1}{\bf{p\_{1}}}, {\bf{Ap\_{2}}}=\lambda\_{2}{\bf{p\_{2}}}]
なお固有値は
[tex:\displaystyle \lambda\_{1,2}=\frac{1}{2} \left( (a+d)\pm \sqrt{(a+d)^{2}-4(ad-bc) } \right) ]
となる。
ここで以下を満たす新しい変数からなるベクトルzを定義する。
両辺微分すると
[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx} ]
また
[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}]
から
[tex:\displaystyle {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}]
上にP-1を作用させると
<div> [tex:\displaystyle \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{P}}^{-1}{\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix}{\bf{z}} ] </div>
以下2本の単純な1次線形微分方程式になる。
[tex:\displaystyle \frac{dz\_{1}}{dx} = \lambda\_{1}z\_{1}, \frac{dz\_{2}}{dx} = \lambda\_{2}z\_{2} ]
解はそれぞれ
[tex:\displaystyle z\_{1} = C\_{1}\exp ( \lambda\_{1}x ), z\_{2} = C\_{2}\exp ( \lambda\_{2} x ) ]
もともとy=Pzとしていたので、yは
<div> [tex:\displaystyle {\bf{y}}= \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{1}\exp ( \lambda_{1}x ) \\ C_{2}\exp ( \lambda_{2}x ) \\ \end{pmatrix} ] </div>
<div> [tex:\displaystyle \begin{eqnarray} y_{1} &=& C_{1} p_{11} \exp ( \lambda_{1}x )+ C_{2}p_{12} \exp ( \lambda_{2}x ) \\ y_{2} &=& C_{1} p_{21} \exp ( \lambda_{1}x )+ C_{2}p_{22} \exp ( \lambda_{2}x ) \end{eqnarray} ] </div>
前回の変数消去法による連立1階微分方程式の解法と当然ながら解は一致する。行列を用いるメリットとしてはy'=Ayのように表現できればで2つ以上の連立微分方程式に対しても、行列の固有値を計算することで微分方程式の解が得られるところにある。
