Texによる数式表現3～指数関数、対数関数

今回は指数関数(exp,e)、対数関数(ln,log)のTex数式表現を取り上げる。

1. 指数関数の表現

　まず指数関数は[tex:\exp(x)]

$\exp(x)$

高校数学的には[tex: e ^{x}]

$e ^{x}$

オイラーの等式(世界で一番美しい数式)[tex: e ^{i\pi}+1=0]

$e ^{i\pi}+1=0$

オイラーの公式は(これもなかなか美しい式)

[tex: \exp (i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta ]

$\exp (i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$

テーラー展開は[tex: \displaystyle \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^ n}{n!} ]

$\displaystyle \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^ n}{n!}$

指数関数の定義[tex:\displaystyle \exp(x)=\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right) ^n ]

$\displaystyle \exp(x)=\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right) ^n$

limitの下にx→∞と表示するために\displaystyleを入れる。

双曲線関数は[tex: \sinh x=\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}, \cosh x=\dfrac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}]

$\sinh x=\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}, \cosh x=\dfrac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}$

双曲線関数は\sinh, \cosh, \tanhとする。

　最も基本的な自然対数は[tex: \ln x]

$\ln x$

対数の底を表示する場合、省略する場合[tex: \log_{10}x, \log x]

$\log_{10}x, \log x$

積の対数[tex:\log xy=\log x+\log y]

$\log xy=\log x+\log y$

商の対数[tex:\displaystyle \log \frac{x}{y} =\log x-\log y]

$\displaystyle \log \frac{x}{y} =\log x-\log y$

底の変換公式[tex: \log_{a}x=\dfrac{\log\_{b}x}{\log\_{b}a}]

$\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$

/dfracまたは\fracで下付き_{}内にtexコマンド\を入れる場合、はてなで認識しない場合があり、対策としてエスケープをアンダースコア前に入れる。：\_

エンジニアリングで頻繁に使われるデシベルの定義は[tex: \displaystyle L=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}(dB)]

$\displaystyle L=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}(dB)$

P₁は基準となる電力（パワー）、P₂は測定で得られた電力（パワー）