つれづれなる備忘録

日々の発見をあるがままに綴る

Texによる数式表現6~確率・統計

1. 順列・組み合わせ

 今回は確率・統計で使われる数式表現について紹介する。まず順列の記号は

[tex: {}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}]

 {}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}

特に専用のコマンドはない。最初の下付き文字のみを表示するため{}_nとする。

重複順列は[tex:{}_n\Pi_r=n^ r]

{}_n\Pi_r=n^ r

組み合わせ記号も順列と同様に専用コマンドがないので、

[tex:{}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}]

{}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}

重複組み合わせは[tex:{}_nH_r=\dfrac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}]

{}_nH_r=\dfrac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}

ベイズの定理は[tex: P(B | A)=\dfrac{P(A | B)P(B)}{P(A)}]

 P(B | A)=\dfrac{P(A | B)P(B)}{P(A)}

2. 期待値・分散

 期待値は

[tex:\displaystyle E \\[ X \\]=\mu=\sum_i p_i x_i]

\displaystyle E [ X ]=\mu=\sum_i p_i x_i

Tex内で[を表示するにはmarkdownとの干渉を避けるためダブルエスケープ\\[を利用する。

分散は

[tex: \displaystyle V\\[X\\]=\sigma^ 2=E\\[ (X-E\\[X\\])^ 2 \\]=\sum_i (x_i-\mu)^ 2 p_i]

 \displaystyle V[X]=\sigma^ 2=E[ (X-E[X])^ 2 ]=\sum_i (x_i-\mu)^ 2 p_i

3. 確率分布

 いくつかの確率分布(確率密度関数)のTex表現を示す。

二項分布:

[tex: P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}]

 P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}

正規分布

[tex: f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^ 2}{2\sigma^ 2})]

 f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^ 2}{2\sigma^ 2})

ポアソン分布:

[tex: P(X=k)=\dfrac{\lambda^ k e^{-\lambda}}{k!}]

 P(X=k)=\dfrac{\lambda^ k e^{-\lambda}}{k!}

カイ二乗分布

[tex:f(x;k)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}]

f(x;k)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}

ロジスティック分布:

[tex:f(x;\mu,s)=\dfrac{\exp (-(x-\mu)/s)}{s(1+\exp (-(x-\mu)/s)^ 2}]

f(x;\mu,s)=\dfrac{\exp (-(x-\mu)/s)}{s(1+\exp (-(x-\mu)/s)^ 2}