1. 順列・組み合わせ
今回は確率・統計で使われる数式表現について紹介する。まず順列の記号は
[tex: {}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}]
特に専用のコマンドはない。最初の下付き文字のみを表示するため{}_n
とする。
重複順列は[tex:{}_n\Pi_r=n^ r]
組み合わせ記号も順列と同様に専用コマンドがないので、
[tex:{}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}]
重複組み合わせは[tex:{}_nH_r=\dfrac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}]
ベイズの定理は[tex: P(B | A)=\dfrac{P(A | B)P(B)}{P(A)}]
2. 期待値・分散
期待値は
[tex:\displaystyle E \\[ X \\]=\mu=\sum_i p_i x_i]
Tex内で[を表示するにはmarkdownとの干渉を避けるためダブルエスケープ\\[
を利用する。
分散は
[tex: \displaystyle V\\[X\\]=\sigma^ 2=E\\[ (X-E\\[X\\])^ 2 \\]=\sum_i (x_i-\mu)^ 2 p_i]
3. 確率分布
二項分布:
[tex: P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}]
正規分布:
[tex: f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^ 2}{2\sigma^ 2})]
ポアソン分布:
[tex: P(X=k)=\dfrac{\lambda^ k e^{-\lambda}}{k!}]
[tex:f(x;k)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}]
ロジスティック分布:
[tex:f(x;\mu,s)=\dfrac{\exp (-(x-\mu)/s)}{s(1+\exp (-(x-\mu)/s)^ 2}]