つれづれなる備忘録

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Texによる数式表現7～微分・積分

その他 TeX

1. 微分

　今回は微分・積分に使われるTex数式表現について取り上げる。まず単純な微分表現は

[tex:\dfrac{d\sin(x)}{dx}=\cos(x)]

$\dfrac{d\sin(x)}{dx}=\cos(x)$

特に専用のコマンドがないので、\fracや\dfracとdを組み合わせる。

2回微分は

[tex:\dfrac{d^ 2\sin(x)}{dx^ 2}=-\sin(x)]

$\dfrac{d^ 2\sin(x)}{dx^ 2}=-\sin(x)$

2階微分方程式

[tex:\dfrac{d^ 2 y}{d^ 2x}+P(x)\dfrac{dy}{dx}+Q(x)=0]

$\dfrac{d^ 2 y}{d^ 2x}+P(x)\dfrac{dy}{dx}+Q(x)=0$

[tex:\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}]

$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$

偏微分記号は\partialを用いる。2階偏微分は

[tex:\dfrac{\partial^ 2 f(x,y)}{\partial x\partial y}]

$\dfrac{\partial^ 2 f(x,y)}{\partial x\partial y}$

偏微分方程式(波動方程式)は

[tex:\dfrac{\partial^ 2u(x,t)}{\partial t^ 2}=c^ 2\dfrac{\partial^ 2 u(x,t)}{\partial x^ 2}]

$\dfrac{\partial^ 2u(x,t)}{\partial t^ 2}=c^ 2\dfrac{\partial^ 2 u(x,t)}{\partial x^ 2}$

2. 積分

基本的な不定積分は

[tex:\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)]

$\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)$

積分記号は\intを用いる。定積分の場合は

[tex:\displaystyle \int^{\pi}_{0}\cos(x)dx=0]

$\displaystyle \int^{\pi}_{0}\cos(x)dx=0$

\intに^や_を組み合わせる。見栄えは悪いがdisplaystyleなしでも表示できる。

ガウス積分は

[tex:\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}\exp(-x^ 2)dx=\sqrt{\pi}]

$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}\exp(-x^ 2)dx=\sqrt{\pi}$

重積分は

[tex:\displaystyle \int\int_{D} \frac{1}{\sqrt{x^ 2+y^ 2}}dxdy]

$\displaystyle \int\int_{D} \frac{1}{\sqrt{x^ 2+y^ 2}}dxdy$

または

$\displaystyle \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^ 2+y^ 2}}dxdy$

\iintを用いると個別に\int\intとした場合よりも積分記号間を詰めることができる。 (1個づつ積分範囲を記載する場合は使えない）なお\int\intに\!を併用して負のスペースで調整することはできる。 intの前にiをつけるごとに積分記号を増やすことができる。3重積分の場合は\iiintを用いて

[tex: \displaystyle \iiint_D f(x,y,z)dxdydz]

$\displaystyle \iiint_D f(x,y,z)dxdydz$

また4重積分は\iiiint

[tex: \displaystyle \iiiint_D f(x_1,x_2,x_3,x_4)dx_1dx_2dx_3dx_4]

$\displaystyle \iiiint_D f(x_1,x_2,x_3,x_4)dx_1dx_2dx_3dx_4$

周回積分を含むアンペールの法則の一般式は

[tex:\displaystyle \oint_{\partial S} {\bf{H}}\cdot d{\bf{s}}=I]

$\displaystyle \oint_{\partial S} {\bf{H}}\cdot d{\bf{s}}=I$

周回積分の記号は\ointを使用する。