単位系における電磁気法則の違い

1. 単位系による電磁気法則の違い
2. 有理化、対称化と電磁気法則
3. 各単位系における電磁気法則

1. 単位系による電磁気法則の違い

　前回までに紹介してきた電磁気に用いられるCGS単位系では、ε₀=1やμ₀=1、また4πを入れる、入れない(有理化)により電磁気に関する法則が見かけ上違って見える。今回は単位系によって見かけ上どのように違うかまとめた。

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2. 有理化、対称化と電磁気法則

係数λを有理化係数と呼び、有理化時はλ=1, 非有理化時はλ=4πとする。また係数γを対称化係数と呼びγ=c(c:光速)のとき対称化、γ=1のときを非対称化と呼ぶ。これら有理化係数λ, 対称化係数γを用いて電磁気の各法則をあらわすと以下の様になる。

ローレンツ力:

$\mathbf{f}=q \left( \mathbf{E} + \gamma^{-1} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$

マクスウェル方程式:

$\begin{eqnarray} && \mathrm{div} \mathbf{D} = \lambda \rho \\ && \gamma \mathrm{rot} \mathbf{H} - \dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \lambda \mathbf{j} \\ &&\mathrm{div} \mathbf{B} = 0 \\ && \gamma \mathrm{rot} \mathbf{E} + \dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0 \end{eqnarray}$

構成方程式:

$\mathbf{D} =\varepsilon_0 \mathbf{E} +\lambda \mathbf{P}$

$\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_0 -\lambda \mathbf{M}$

クーロンの法則:

$F=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}$

平行電流Iに作用する単位長さ当たりの力(ビオ・サバールの法則から)

$\dfrac{dF}{dL}=\dfrac{\lambda \mu_{0}}{4\pi \gamma^{2}}\dfrac{2I^{2}}{r}$

物理定数:

光速度:

$c=\dfrac{\gamma}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

真空インピーダンス:

$Z_0=\dfrac{\lambda}{\gamma}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$

各単位系での有理化、対称化、ε₀、μ₀の関係を下表にまとめる。

単位系	有理化(λ)	対称化(γ)	ε₀	μ₀
SI単位系	1	1	1/μ₀c²	4π x 10^-7 H/m
CGS-esu	4π	1	1	1/c²
CGS-emu	4π	1	1/c²	1
CGS-gauss	4π	c	1	1

対称化係数γ, ε₀, μ₀はこのうち2つが決まるとc=1/(ε₀·μ₀)^1/2を満たすように自動的に次元が割り当てられている。それぞれの意味や経緯は、電磁気学の単位系が難しい理由に詳細に書かれている。

3. 各単位系における電磁気法則

上の式、表に従って各単位系(SI/ESU/EMU/gauss)において電磁気の各法則をあらわすと以下のようになる。

単位系	ローレンツ力
SI/ESU/EMU	$\mathbf{f}=q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$
CGS-gauss	$\mathbf{f}=q \left( \mathbf{E} + c^{-1} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$

単位系	マクスウェル方程式：電束
SI	$\mathrm{div} \mathbf{D} = \rho$
ESU/EMU/gauss	$\mathrm{div} \mathbf{D} = 4\pi \rho$

単位系	マクスウェル方程式：磁界-動電場
SI	$\mathrm{rot} \mathbf{H} - \dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{j}$
ESU/EMU	$\mathrm{rot} \mathbf{H} - \dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = 4\pi \mathbf{j}$
CGS-gauss	$c \, \mathrm{rot} \mathbf{H} - \dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = 4\pi \mathbf{j}$

単位系	マクスウェル方程式：電界-動磁場
SI/ESU/EMU	$\mathrm{rot} \mathbf{E} + \dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0$
CGS-gauss	$c\, \mathrm{rot} \mathbf{E} + \dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0$

単位系	構成方程式：電場
SI	$\mathbf{D} =\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$
ESU/gauss	$\mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi \mathbf{P}$
EMU	$\mathbf{D} = c^{-2} \mathbf{E} + 4\pi \mathbf{P}$

単位系	構成方程式：磁場
SI	$\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_0 - \mathbf{M}$
ESU	$\mathbf{H}=c^{2} \mathbf{B} -4\pi \mathbf{M}$
EMU/gauss	$\mathbf{H}=\mathbf{B} -4 \pi \mathbf{M}$

単位系	クーロンの法則
SI	$F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}$
ESU/gauss	$F=\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}$
EMU	$F=c^{2} \dfrac{Q^{2}}{r^{2}}$

単位系	平行電流に作用する単位長さ当たりの力
SI	$\dfrac{dF}{dL}=\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\dfrac{2I^{2}}{r}$
ESU/gauss	$\dfrac{dF}{dL}=\dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{2I^{2}}{r}$
EMU	$\dfrac{dF}{dL}=\dfrac{2I^{2}}{r}$