前回はgnuplotによるデータのフィッティングについて紹介したが、今回はフィッティングの設定、実行時に表示される情報およびフィッティングに用いるデータの選択について紹介する。
1. フィッティングの設定
gnuplotの非線形（線形）フィッティングはMarquardt-Levenberg 法を用いている。(詳しくは数理最適化の勉強メモ − Levenberg-Marquardt法 - かみのメモ)
通常はデフォルトのままで、初期値を工夫すればよいがMarquardt-Levenberg 法のパラメータや収束条件も指定することができる。現状の設定を見るにはshow fitとして
デフォルトでは以下のようになる。
show fit fit will output brief results to console and log-file. fit can handle up to 12 independent variables fit will prescale parameters by their initial values fit will place parameter errors in variables fit will not place covariances in variables fit will scale parameter errors with the reduced chi square log-file for fits is unchanged from the environment default of 'fit.log' fits will be considered to have converged if delta chisq < chisq * 1e-05 fit has no limit in the number of iterations fit will default to `unitweights` if no `error`keyword is given on the command line. fit can run the following command when interrupted: 'replot' last fit command was: fit g(x) 'exp_dat.txt' via c,d
設定を変更するにはset fitを用いて変更する。例えば繰り返し回数を設定するには
set fit maxiter 100
no limit in the number of iterationsからstop after a maximum of 100 iterationsへ変更されていることが確認できる
show fit fit will output brief results to console and log-file. fit can handle up to 12 independent variables fit will prescale parameters by their initial values fit will place parameter errors in variables fit will not place covariances in variables fit will scale parameter errors with the reduced chi square log-file for fits is unchanged from the environment default of 'fit.log' fits will be considered to have converged if delta chisq < chisq * 1e-05 fit will stop after a maximum of 100 iterations fit will default to `unitweights` if no `error`keyword is given on the command line. fit can run the following command when interrupted: 'replot' last fit command was: fit g(x) 'exp_dat.txt' via c,d
各項目を設定するには次のサイトを参照。 88.25 非線形関数回帰 (fit)
2. フィッティング結果の情報
フィッティング実行時に表示される情報についていくつか補足する。
iter chisq delta/lim lambda c d 0 7.9349681954e+03 0.00e+00 2.81e+00 1.000000e+00 1.000000e-01 * 1.0947233099e+10 1.00e+05 2.81e+01 2.009572e+00 7.149508e-01 1 1.0855216784e+03 -6.31e+05 2.81e+00 1.803721e+00 2.041256e-01 2 1.3163872840e+02 -7.25e+05 2.81e-01 2.105784e+00 2.277526e-01 3 6.7779979889e+01 -9.42e+04 2.81e-02 2.225940e+00 2.179931e-01 4 6.7749260463e+01 -4.53e+01 2.81e-03 2.212564e+00 2.183251e-01 5 6.7749246439e+01 -2.07e-02 2.81e-04 2.213473e+00 2.182958e-01 iter chisq delta/lim lambda c d After 5 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 67.7492 rel. change during last iteration : -2.06994e-07 degrees of freedom (FIT_NDF) : 14 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) : 2.19983 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 4.83923 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== c = 2.21347 +/- 0.2982 (13.47%) d = 0.218296 +/- 0.01006 (4.607%) correlation matrix of the fit parameters: c d c 1.000 d -0.986 1.000
まずchisqは残差を標準偏差で割った値で
フィッティングした曲線に対してどの程度近似できているかを示す。最後の値はfinal sum of squares of residualsとして使われている。
Asymptotic Standard Errorは推定したパラメータ値の68%信頼区間を表している。(括弧内はパラメータ値に対する信頼区間の比率)
correlation matrixの非対角項はパラメータの相関を表し独立であれば0に近い値となる。また対角項については1となる。
3. フィッティングデータの選択
フィッティングを実行する際、すべてのデータではなくある程度範囲を狭めてフィッティングを行うこともできる。前回の指数関数のフィッティングでxが0～15ではなく0～10でフィッティングする場合fit [0:10][] g(x) 'exp_dat.txt' via c,dとする。
fit [0:10][] g(x) 'exp_dat.txt' via c,d iter chisq delta/lim lambda c d 0 1.2520115146e+01 0.00e+00 1.48e+01 2.213473e+00 2.182958e-01 1 3.7000131504e+00 -2.38e+05 1.48e+00 2.077580e+00 2.159255e-01 2 1.7742743011e+00 -1.09e+05 1.48e-01 1.656853e+00 2.386640e-01 3 1.3186377653e+00 -3.46e+04 1.48e-02 1.665400e+00 2.407553e-01 4 1.3185738402e+00 -4.85e+00 1.48e-03 1.666037e+00 2.406825e-01 5 1.3185738207e+00 -1.48e-03 1.48e-04 1.666020e+00 2.406837e-01 iter chisq delta/lim lambda c d After 5 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 1.31857 rel. change during last iteration : -1.48032e-08 degrees of freedom (FIT_NDF) : 9 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) : 0.382764 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0.146508 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== c = 1.66602 +/- 0.0971 (5.828%) d = 0.240684 +/- 0.006731 (2.796%)
すべてのデータでフィッティングするとc= 2.21347, d=0.218296だったが、xを0～10に選択した場合c=1.66602, d=0.240684と真値(c=1.5,d=0.25)にだいぶ近づいた。フィッティングした曲線とデータをプロットすると、xが10以下のところでデータと曲線がよく一致していることがわかる。
4. まとめ
今回はgnuplotによる非線形フィッティングに関して、フィッティング時に表示される情報およびフィッティングに用いるデータの選択について紹介した。
