Texによる数式表現8～論理記号 - つれづれなる備忘録

論理記号

　今回は論理記号のTex数式表現について取り上げる。エンジニアリングではあまり使わないが、(純粋)数学ではよく見かける。大学の数学の授業とかでも、説明なしでいきなり使われたことがあり困った経験がある。(工学関係では使われたことはないが）

～ならば：⇒, →

[tex:\Rightarrow, \implies, \to]

$\Rightarrow, \implies, \to$

通常は\Rightarrow長めの記号であれば\implies, シンプルには\toを使う。論理記号としての意図はなくても、普通に使うこともあると思う。

等価、同値:⇔, ↔

[tex: \Leftrightarrow, \iff, \leftrightarrow]

$\Leftrightarrow, \iff, \leftrightarrow$

\Leftrightarrow長めの記号であれば\iff, シンプルには\leftrightarrowを使う。

否定:¬, ˜

[tex:\lnot A, \neg A, \tilde{A} ]

$\lnot A, \neg A, \tilde{A}$

\lnotまたは\negどちらも書体は同じ。

論理積, 論理和: ∧, ∨

[tex: A\land B, A\wedge B, A\lor B, A\vee B]

$A\land B, A\wedge B, A\lor B, A\vee B$

論理積(AND)は\land, \wedgeのどちらでもよく、論理和(OR)も\lor,\veeどちらでもよい。

排他的論理和XOR:⊕,⊻

[tex: A\oplus B, A\veebar B]

$A\oplus B, A\veebar B$

表記は異なるが、どちらの記号もXORを表す。

トートロジー,矛盾: ⊤,⊥

[tex:\top, \bot]

$\top, \bot$

常に真となる論理式(例えばa→a)をトートロジーとよび、⊤で表す。また矛盾を表す記号は⊥となる。

存在記号: ∀, ∃

[tex: \forall n \in \mathbb{N} : n^ 2\geq n]

$\forall n \in \mathbb{N} : n^ 2\geq n$

∀は"すべての"、"任意の"という意味で、上記は任意の自然数nはn²≥ nを満たすという意味になる。

[tex:\exists x\in \mathbb{R}: x^ 2=1]

$\exists x\in \mathbb{R}: x^ 2=1$

∃は少なくとも1つは存在するという意味で、上記は少なくとも1つの実数xはx²=1を満たすという意味になる。

[tex:\exists! x \in \mathbb{R}: x^ 2=0]

$\exists! x \in \mathbb{R}: x^ 2=0$

∃!はただ1つ存在するという意味で、上記はただ1つの実数xがx²=0を満たすという意味になる。

定義記号:≔, ≡

[tex: A := B, A\equiv B]

$A := B, A\equiv B$

:=はコマンドがないのでそのまま表記。

証明・帰結: ⊢, ⊨

[tex: A\rightarrow B \vdash \lnot B \rightarrow \lnot A]

$A\rightarrow B \vdash \lnot B \rightarrow \lnot A$

X⊢YはXからYを証明するという意味で、上記はA→Bから、裏である¬B→¬Aを証明するという意味になる。

[tex: A\rightarrow B \vDash \lnot B \rightarrow \lnot A]

$A\rightarrow B \vDash \lnot B \rightarrow \lnot A$

X⊨YはXが真であればYは必然であるという意味で、上記はA→Bが真であれば、¬B→¬A(裏)は必然であるという意味になる。

その他

[tex: \therefore A=B, \because A\equiv B]

$\therefore A=B, \because A\equiv B$

∴ (故に)や∵(なぜならば)は数学、論理学に関わらず一般的に使われている。