Texによる数式表現10～テンソル解析

1. テンソル解析のTex表現

　今回はテンソル解析に出てくるTex数式表現について取り上げる。基本的には今までの上付き、下付きを組み合わせて表現することになる。

2. テンソル解析の記法

共変テンソル, 反変テンソルと混合テンソルは

[tex: \alpha_{ij}, \, \alpha^{ij},\, \alpha\_{i}^{j}]

$\alpha_{ij}, \, \alpha^{ij},\, \alpha_{i}^{j}$

通常の上付き^{ }や下付き_{ }を用いるがコードが長くなると、はてな上でうまく解釈できなくなることがある。そこで\_などとすると正しく表示される。

共変ベクトルから共変ベクトル、反変ベクトルから反変ベクトルへの変換測は

[tex: A_i= \alpha_{i}^{j} A\_ j, \, A^{i}=\alpha\_{j}^{i}A^{j}]

$A_i= \alpha_{i}^{j} A_ j, \, A^{i}=\alpha_{j}^{i}A^{j}$

共変ベクトルと反変ベクトルへの変換測は

[tex: A_i=\alpha_{ij}A^ j, \, A^ i=\alpha^{ij}A_j]

$A_i=\alpha_{ij}A^ j, \, A^ i=\alpha^{ij}A_j$

計量テンソルを表す表現は

[tex: g_{ij}=\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j}]

$g_{ij}=\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j}$

[tex: g^{\mu\nu} g_{\mu\sigma}=\delta\_{\sigma}^{\nu}]

$g^{\mu\nu} g_{\mu\sigma}=\delta_{\sigma}^{\nu}$

計量テンソルを用いた2点間の距離は

[tex: ds^ 2=g_{ik}dx^ i dx ^j]

$ds^ 2=g_{ik}dx^ i dx ^j$

クリストッフェル記号は

[tex: \displaystyle \Gamma^{\sigma}_{\lambda\nu} = 
\frac{1}{2}g^{\nu\sigma }\left( \frac{\partial g\_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}} +\frac{\partial g\_{\lambda\nu}}{\partial x^{\mu}}
-\frac{\partial g\_{\mu\lambda}}{\partial x^{\nu}}\right)]

$\displaystyle \Gamma^{\sigma}_{\lambda\nu} = \frac{1}{2}g^{\nu\sigma }\left( \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}} +\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x^{\nu}}\right)$

アインシュタイン方程式は

[tex: R_{ab}-\dfrac{1}{2}g\_{ab}R=\dfrac{8\pi G}{c^ 4}T\_{ab}]

$R_{ab}-\dfrac{1}{2}g_{ab}R=\dfrac{8\pi G}{c^ 4}T_{ab}$

なおリッチテンソルR_ijは

[tex: R\_{ij}=R\_{\,ikj}^{k}]

$R_{ij}=R_{\,ikj}^{k}$

下付きにスペース\,を入れて形を整えた。

3階のテンソルの代表例であるレヴィ・チビタ記号は

<div>
[tex: \varepsilon_{ijk} = 
\begin{eqnarray} \left\{ 
\begin{array}{1} +1  \quad ( (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) ) \\ 
-1 \quad  ( (i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) ) \\ 
0 \qquad ({\rm{otherwise}}) 
\end{array}\right. \end{eqnarray}] 
</div>

$\varepsilon_{ijk} = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} +1 \quad ( (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) ) \\ -1 \quad ( (i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) ) \\ 0 \qquad ({\rm{otherwise}}) \end{array}\right. \end{eqnarray}$