Texによる数式表現32～Z変換
今回はデジタル回路などで使われるZ変換のTeXによる数式表現について紹介する。
1. Z変換
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ x_{n} \\] = X(z) = \sum\_{n= - \infty}^{\infty} x\_{n} z^{-n} ]
フーリエ変換やラプラス変換は積分変換のため積分記号\intを用いていたが、Z変換は離散データの変換なのでSum記号\sumを用いる。
Z変換をあらわす記号はフーリエ変換、ラプラス変換と同様に\mathcal{Z}とする。はてな記法のTeXを用いる場合は[を表記する場合、はてな記法との干渉を避けるため\\[とする必要があり多用するとどうしても冗長になってしまう。
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ x\_{n} \\] = X(z) = \sum\_{n= 0}^{\infty} x\_{n} z^{-n} ]
2. Z変換の性質
線形性・スケール性
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ ax\_{n}+by\_{n} \\] =a\mathcal{Z} \\[ x\_{n} \\] +b\mathcal{Z} \\[ y\_{n} \\] ]
シフト性
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ x\_{n-k} \\] = z^{-k}\mathcal{Z} \\[ x\_{n} \\] ]
微分(z領域)
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ nx\_{n} \\] = -z \frac{d}{dz} \mathcal{Z} \\[ x\_{n} \\] ]
畳み込み
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ x\_{n}*y\_{n} \\] = \mathcal{Z} \\[ x\_{n} \\] \mathcal{Z}\\[ y\_{n} \\] ]
3. Z変換例
列xnが任意ではなく、離散数値を引数とする関数によって与えられる場合の変換例：
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ \delta (n) \\] =1 ]
ステップ関数
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ u (n) \\] =\frac{1}{1+z^{-1}]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ a^{n}u (n) \\] =\frac{1}{1+az^{-1}} ]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ na^{n}u (n) \\] =\frac{az^{-1}}{(1+az^{-1})^{2}} ]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ a^{n}u (-n-1) \\] =\frac{-1}{1+az^{-1}} ]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ na^{n}u (-n-1) \\] =\frac{az^{-1}}{(1+az^{-1})^{2}} ]
余弦関数
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ \cos (\omega\_{0}n )u (n) \\] =\frac{1-z^{-1}\cos ( \omega\_{0} )}{1-2z^{-1}\cos ( \omega\_{0} )+z^{-2}} ]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ a^{n} \cos (\omega\_{0}n )u (n) \\] =\frac{1-az^{-1}\cos ( \omega\_{0} )}{1-2az^{-1}\cos ( \omega\_{0} )+a^{2}z^{-2}} ]
正弦関数
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ \sin (\omega\_{0} n)u (n) \\] =\frac{z^{-1}\sin ( \omega\_{0} )}{1-2z^{-1}\cos ( \omega\_{0} )+z^{-2}} ]
[tex: \displaystyle \mathcal{Z} \\[ a^{n} \sin (\omega\_{0} n)u (n) \\] =\frac{az^{-1}\sin ( \omega\_{0} )}{1-2az^{-1}\cos ( \omega\_{0} )+a^{2}z^{-2}} ]
