Texによる数式表現35～ラゲール多項式

1. ラゲール多項式の定義
2. ラゲール多項式の生成公式
3. 具体的なラゲール多項式の例
4. ラゲール多項式の応用

　今回は光学や量子力学などで使われるラゲール多項式のTeXによる数式表現について紹介する。

1. ラゲール多項式の定義

[tex:\displaystyle \left( x\frac{d^{2}}{dx^{2}} (k+1-x)\frac{d}{dx}+(n-k)  \right) L\_{n}^{k}(x) = 0 ]

$\displaystyle \left( x\frac{d^{2}}{dx^{2}} (k+1-x)\frac{d}{dx}+(n-k) \right) L_{n}^{k}(x) = 0$

を満たす多項式L_n^k(x)はラゲール陪多項式と呼ぶ。さらにk=0の場合で、上の状微分方程式を満たす多項式L_n(x)をラゲール多項式と呼ぶ。

またラゲール陪多項式とラゲール多項式は

[tex:\displaystyle L\_{n}^{k}(x)= \frac{d^{k}}{dx^{k}} L\_n(x) ]

$\displaystyle L_{n}^{k}(x)= \frac{d^{k}}{dx^{k}} L_n(x)$

2. ラゲール多項式の生成公式

ラゲール陪多項式L_n^k(x)のロドリゲスの公式

[tex:\displaystyle  L\_{n}^{k}(x)=\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left( e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{-x}) \right) = \sum\_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}\frac{(n!)^{2}}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^{m} ]

$\displaystyle L_{n}^{k}(x)=\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left( e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{-x}) \right) = \sum_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}\frac{(n!)^{2}}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^{m}$

母関数は

[tex:\displaystyle G(t,x)=\frac{(-1)^{2}}{(1-t)^{k+1}}\exp \left( \frac{xt}{1-t} \right) = \sum\_{n=0}^{\infty}  L\_{n}^{k}(x) \frac{t^{n-k}}{n!} ]

$\displaystyle G(t,x)=\frac{(-1)^{2}}{(1-t)^{k+1}}\exp \left( \frac{xt}{1-t} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} L_{n}^{k}(x) \frac{t^{n-k}}{n!}$

漸化式はk=0として

[tex: \displaystyle x\frac{d}{dx}L\_{n}(x)=nL\_{n}(x)-n^{2}L\_{n-1}(x) ]

$\displaystyle x\frac{d}{dx}L_{n}(x)=nL_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)$

または

[tex: \displaystyle L\_{n+1}(x)=(2n+1-x)L\_{n}(x)-n^{2}L\_{n-1}(x) ]

$\displaystyle L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)$

3. 具体的なラゲール多項式の例

n=6までの具体的なラゲール多項式は

[tex: \displaystyle L\_{0}(x)=1]

[tex: \displaystyle L\_{1}(x)=-x+1]

[tex: \displaystyle L\_{2}(x)=x^{2}-4x+2]

[tex: \displaystyle L\_{3}(x)=-x^{3}+x^{2}-18x+6]

[tex: \displaystyle L\_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24]

[tex: \displaystyle L\_{5}(x)=-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120]

[tex: \displaystyle L\_{6}(x)=x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720]

$\displaystyle L_{0}(x)=1$

$\displaystyle L_{1}(x)=-x+1$

$\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}-4x+2$

$\displaystyle L_{3}(x)=-x^{3}+x^{2}-18x+6$

$\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24$

$\displaystyle L_{5}(x)=-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120$

$\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720$

4. ラゲール多項式の応用

ラゲール多項式の応用としては水素原子のシュレディンガー方程式を極座標系での解でラゲール陪多項式という形であらわれる。

[tex: \displaystyle \psi\_{nlm}(r,\theta,\phi)=\sqrt{ \left( \frac{2}{n\alpha\_{0}} \right)^{3} \frac{(n-l-1)!}{2n (n+l)! } } e^{-r/n\alpha\_{0}}\left( \frac{2}{n\alpha\_{0}} \right)^{l}   L\_{2l+1}^{n-l-1}(x)\left( \frac{2}{n\alpha\_{0}} \right) Y\_{m}^{l}(\theta,\phi)  ]

$\displaystyle \psi_{nlm}(r,\theta,\phi)=\sqrt{ \left( \frac{2}{n\alpha_{0}} \right)^{3} \frac{(n-l-1)!}{2n (n+l)! } } e^{-r/n\alpha_{0}}\left( \frac{2}{n\alpha_{0}} \right)^{l} L_{2l+1}^{n-l-1}(x)\left( \frac{2}{n\alpha_{0}} \right) Y_{m}^{l}(\theta,\phi)$

光学のレーザ強度分布をあらわす分布の中でラゲールガウシアンモードがある。中心付近の強度が低いドーナッツ状の光強度分布は光トラッピングや超解像顕微鏡に使用される。ラゲールガウシアンモードは円筒座標系において

[tex: \displaystyle u(r,\phi,z)\propto\frac{C\_{lp}}{w(z)} \left( \frac{r\sqrt{2}}{w(z)} \right)^{|l|}\exp \left( \frac{-r^{2}}{w^{2}(z)} \right) L\_{p}^{|l|}\left( \frac{2r^{2}}{w^{2}(z)} \right)  \exp \left( -ik\frac{-r^{2}}{2R(z)} \right) ]

$\displaystyle u(r,\phi,z)\propto\frac{C_{lp}}{w(z)} \left( \frac{r\sqrt{2}}{w(z)} \right)^{|l|}\exp \left( \frac{-r^{2}}{w^{2}(z)} \right) L_{p}^{|l|}\left( \frac{2r^{2}}{w^{2}(z)} \right) \exp \left( -ik\frac{-r^{2}}{2R(z)} \right)$