Texによる数式表現34～エルミート多項式

　今回は物理学などで使われるエルミート多項式のTeXによる数式表現について紹介する。

1. エルミート多項式の定義

常微分方程式

[tex:\displaystyle \left( \frac{d^{2}}{dx^{2}} -2x\frac{d}{dx}+2n  \right) H\_{n}(x) = 0]

を満たす多項式H _n(x)をエルミート多項式と呼ぶ。

2. エルミート多項式の生成公式

ルジャンドル多項式と同様にエルミート多項式H _n(x)のロドリゲスの公式

[tex:\displaystyle H\_{n}(x)= (-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}} ]

また漸化式は

[tex:\displaystyle H\_{n+1}(x)= 2x H\_{n}(x)-2nH\_{n-1}(x) ]

[tex:\displaystyle \frac{d}{dx} H\_{n}(x)= 2n H\_{n-1}(x) ]

直接多項式を生成するには

[tex: \displaystyle H\_{n} (x) = n! \sum\_{m=0}^{\\[ n/2 \\] } \frac{(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}(2x)^{n-2m} ]

[n/2]はfloor関数をあらわしている。

3. 具体的なエルミート多項式の例

n=7までの具体的なエルミート多項式は

[tex: \displaystyle H\_{0}(x)=1]

[tex: \displaystyle H\_{1}(x)=2x]

[tex: \displaystyle H\_{2}(x)=4x^{2}-2]

[tex: \displaystyle H\_{3}(x)=8x^{3}-12x]

[tex: \displaystyle H\_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12]

[tex: \displaystyle H\_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x]

[tex: \displaystyle H\_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120]]

[tex: \displaystyle H\_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x]

]

偶関数と奇関数が交互になっている。

4. エルミート多項式の応用

エルミート多項式の応用としては1次元の量子的な調和振動子について時間依存しないシュレディンガー方程式

[tex: \displaystyle \left(  - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{1}{2}kx^{2} \right) \phi (x) = E \phi (x)]

のエネルギーの固有状態

[tex: \displaystyle E\_{n}=\hbar\omega \left( n+\frac{1}{2} \right) ]

に対する解析解は

[tex: \displaystyle \phi\_{n} (x)=A\_{n}H\_{n}(\xi)\exp (-\frac{\xi^{2}}{2} ) ]

でξ および 規格化定数A_nは

[tex: \displaystyle \xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x, A=\sqrt{\frac{1}{n!2^{n}}\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}} ]