前回のラプラス変換の公式に引き続き、今回はラプラス変換の例についてのTeXによる数式表現について紹介する。
ラプラス変換の例
以下はディラックデルタ関数,
はヘビサイド関数,
はガンマ関数,
はオイラー定数
また、tは時間, sは複素数,α,β,τ,ωは実数, nは整数とする。
単位インパルス関数：
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \delta(t) \\] = 1 ]
単位ステップ関数：
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ u(t) \\] = \frac{1}{s} ]
ランプ関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ tu(t) \\] = \frac{1}{s^{2}} ]
n乗関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ t^{n}u(t) \\] = n! \frac{1}{s^{n}} ]
q(複素数)乗関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ t^{q}u(t) \\] = \Gamma (q+1) \frac{1}{s^{n}} ]
n乗根
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ t^{1/n}u(t) \\] = \Gamma (1+\frac{1}{n}) \frac{1}{s^{1+1/n}} ]
指数減衰関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ e^{-\alpha t}u(t) \\] = \frac{1}{s+\alpha} ]
n乗指数減衰
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ t^{n} e^{-\alpha t}u(t) \\] =n! \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} ]
理想遅延：
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \delta(t-\tau) \\] = e^{-\tau s} ]
遅延単位ステップ関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ u(t-\tau) \\] = \frac{1}{s} e^{-\tau s} ]
指数関数的接近
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (1-e^{\alpha t} )u(t) \\] = \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} ]
sin関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (\sin (\omega t) u(t) \\] = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} ]
cos関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (\cos (\omega t) u(t) \\] = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} ]
sinh関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (\sinh (\alpha t) u(t) \\] = \frac{\alpha}{s^{2}-\alpha^{2}} ]
cosh関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (\cosh (\alpha t) u(t) \\] = \frac{s}{s^{2}-\alpha^{2}} ]
sin減衰
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (e^{-\alpha t} \sin (\omega t) u(t) \\] = \frac{\omega}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}} ]
cos減衰
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ (e^{-\alpha t} \cos (\omega t) u(t) \\] = \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}} ]
対数関数
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \ln ( \frac{t}{t\_{0}} ) u(t) \\] = \frac{1}{s} \left( \ln (t\_{0}s ) +\gamma \right) ]
第1種ベッセル関数
[tex:\displaystyle \mathcal{L} \\[ J\_{n}(\omega t ) \\] = \frac{\omega^{n} ( s+ \sqrt{s^{2}+\omega^{2} })^{-n} }{\sqrt{s^{2}+\omega^{2}}} ]
第1種変形ベッセル関数
[tex:\displaystyle \mathcal{L} \\[ I\_{n}(\omega t ) \\] = \frac{\omega^{n} ( s+ \sqrt{s^{2}+\omega^{2} })^{-n} }{\sqrt{s^{2}+\omega^{2}}} ]
第2種ベッセル関数
[tex:\displaystyle \mathcal{L} \\[ Y\_{0}(\alpha t ) \\] = - \frac{\sinh^{-1} (s/\alpha )}{\pi\sqrt{s^{2}+\omega^{2}}} ]
誤差関数
[tex:\displaystyle \mathcal{L} \\[ {\rm{erf}}(t)u(t) \\] = - \frac{e^{-s^{2}/4} {\rm{erf}} (s/2)}{s} ]
