Texによる数式表現29～フーリエ変換例

1. 初等関数のフーリエ変換例
2. 超関数、特殊関数、2次元関数のフーリエ変換例

　前回のフーリエ変換の公式に引き続き、今回はフーリエ変換の例についてのTeXによる数式表現について紹介する。

atatat.hatenablog.com

はてな記法でTeXを埋め込んでいるが、量が多く処理がやや重いのでMathJaxの方がよいかもしれない。

1. 初等関数のフーリエ変換例

sinc関数

sinc関数は周波数空間上では理想的なローパスフィルタになっている。

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ {\rm{sinc}}(at) \\] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{rect}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{sinc}}(at) ] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{rect}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )$

rect関数(矩形関数),sinc関数の双対

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ {\rm{rect}}(at) \\] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{sinc}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{rect}}(at) ] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{sinc}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )$

sinc関数の2乗は、周波数空間上では三角窓関数応答になっている。

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ {\rm{sinc}}^{2}(at) \\] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{tri}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{sinc}}^{2}(at) ] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{tri}} ( \frac{\omega}{2\pi a} )$

tri関数(3角形関数),sinc²関数の双対

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ {\rm{tri}}(at) \\] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{sinc}}^{2} ( \frac{\omega}{2\pi a} )]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{tri}}(at) ] = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}} {\rm{sinc}}^{2} ( \frac{\omega}{2\pi a} )$

ガウス関数

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ e^{-\alpha t^{2}} \\] = \frac{1}{\sqrt{2\alpha}}e^{- \frac{\omega ^{2}}{4\alpha}} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ e^{-\alpha t^{2}} ] = \frac{1}{\sqrt{2\alpha}}e^{- \frac{\omega ^{2}}{4\alpha}}$

ガウス関数は周波数空間上でもガウス関数になる。

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ e^{-|at|} \\] =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^{2}+\omega^{2}} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ e^{-|at|} ] =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^{2}+\omega^{2}}$

双曲線関数

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ {\rm{sech}}(at) \\] =\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}{\rm{sech}}(\frac{\pi\omega}{2a}) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{sech}}(at) ] =\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}{\rm{sech}}(\frac{\pi\omega}{2a})$

sech関数は周波数空間上でもsech関数になる。

定数1

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ 1 \\] =\sqrt{2\pi}\delta (\omega) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ 1 ] =\sqrt{2\pi}\delta (\omega)$

複素三角関数

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ e^{i a t} \\] =\sqrt{2\pi}\delta (\omega-a) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ e^{i a t} ] =\sqrt{2\pi}\delta (\omega-a)$

周波数aの複素三角関数は周波数空間上のω=aにデルタ関数(インパルス)として表示されるフーリエ変換の基本性質を表している。

正弦関数

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ \sin (at) \\] =i\sqrt{2\pi}\frac{\delta (\omega+a)-\delta (\omega-a)}{2} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ \sin (at) ] =i\sqrt{2\pi}\frac{\delta (\omega+a)-\delta (\omega-a)}{2}$

複素三角関数に対して正弦関数の場合は、周波数空間上の対象位置にω=±aにデルタ関数(インパルス)として表示される。

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ \cos (at^{2}) \\] =\frac{1}{\sqrt{2a}}\cos (\frac{\omega^{2}}{4a}-\frac{\pi}{4} ) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ \cos (at^{2}) ] =\frac{1}{\sqrt{2a}}\cos (\frac{\omega^{2}}{4a}-\frac{\pi}{4} )$

フーリエ変換後のω²から周波数が変化していくチャープ信号であることを示している。

べき乗

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ t^{n} \\] = i^{n}\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ t^{n} ] = i^{n}\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)$

sgnは符号関数でsgn(x)でx>0は1,x<0は-1,x=0は0となる。

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ \frac{1}{t^{n}} \\] = -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}{\rm{sgn}}(\omega) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ \frac{1}{t^{n}} ] = -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}{\rm{sgn}}(\omega)$

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ {\rm{sgn}}(t) \\] = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i\omega} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{sgn}}(t) ] = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i\omega}$

2. 超関数、特殊関数、2次元関数のフーリエ変換例

ヘビサイドステップ関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ u(t) \\] = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{1}{i\pi\omega}+\delta (\omega) \right) ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ u(t) ] = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{1}{i\pi\omega}+\delta (\omega) \right)$

[tex: \displaystyle  \mathcal{F} \\[ e^{-a x}u(t) \\] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(a+i\omega)} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ e^{-a x}u(t) ] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(a+i\omega)}$

くし歯関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \left\\[  \sum\_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t-nT ) \right\\] = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \sum\_{k=-\infty}^{\infty} \delta (\omega-\frac{2\pi k}{T} ) ]

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t-nT ) \right] = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (\omega-\frac{2\pi k}{T} )$

ベッセル関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ J_{n}(t) \\] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{(-i)^{n}T\_{n}(\omega){\rm{rect}}(\frac{\omega}{2})}{\sqrt{1-\omega^{2}}}  ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ J_{n}(t) ] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{(-i)^{n}T_{n}(\omega){\rm{rect}}(\frac{\omega}{2})}{\sqrt{1-\omega^{2}}}$

2次元関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ f(x,y) \\] = \frac{1}{2\pi} \iint f(x,y) e^{-i(\omega\_{x}x+\omega\_{y}y)dxdy} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ f(x,y) ] = \frac{1}{2\pi} \iint f(x,y) e^{-i(\omega_{x}x+\omega_{y}y)dxdy}$

2次元ガウス関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ e^{-\pi (a^{2} x^{2} +b^{2} y^{2}) } \\] = \frac{1}{2 \pi |ab|}e^{\frac{-(\omega\_{x}^{2}/a^{2}+\omega\_{y}^{2} / b^{2})}{4\pi}}  ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ e^{-\pi (a^{2} x^{2} +b^{2} y^{2}) } ] = \frac{1}{2 \pi |ab|}e^{\frac{-(\omega_{x}^{2}/a^{2}+\omega_{y}^{2} / b^{2})}{4\pi}}$

1次元と同様に、ガウス関数は周波数空間上もガウス関数に変換される。

円形関数

[tex:\displaystyle \mathcal{F} \\[ {\rm{circ}}(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) \\] = \frac{J\_1(\sqrt{\omega\_{x}^{2}+\omega\_{y}^{2}})}{\sqrt{\omega\_{x}^{2}+\omega\_{y}^{2}})} ]

$\displaystyle \mathcal{F} [ {\rm{circ}}(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) ] = \frac{J_1(\sqrt{\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}})}{\sqrt{\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}})}$