ここ数回はMathJaxやKaTeXなどWeb上で使用可能なパッケージの機能について紹介してきたが、今回からは元のはてな記法のTeX表記に戻ってよく使われる数式表現のTeXコードについて記していきたい。
1. 積分変換
積分変換をあらわすには
[tex: \displaystyle \mathcal{T} \\[ f(t) \\] = \int^{t_2}_{t_1} K(t,u) f(t) dt]
変換をあらわす文字は\mathcal{}を用いる。
逆変換は
[tex: \displaystyle f(t)= \int^{u_2}_{u_1} K^{-1}(t,u) \mathcal{T} \\[ f(t) \\] du]
2. 具体的な積分変換の表記例
積分変換のK(u,t)=e-iut/(2π)1/2とすると工学分野で最も使用頻度が高いフーリエ変換となる。
[tex: \displaystyle \mathcal{F} \\[ f(t) \\] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty} f(t) e^{-iut} dt]
フーリエ正弦変換は
[tex: \displaystyle \mathcal{F_s} \\[ f(t) \\] = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\int^{\infty}_{0} f(t) \sin (ut) dt]
[tex: \displaystyle \mathcal{F_c} \\[ f(t) \\] = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\int^{\infty}_{0} f(t) \cos (ut) dt]
ラプラス変換はK(u,t)=e-utで、電気回路などにあらわれる微分方程式を解くときに使用される。
[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(t) \\] = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-ut} dt]
ヒルベルト変換はK(u,t)=1/π·1/(u-t)で信号処理等であらわれる
[tex: \displaystyle \mathcal{Hil} \\[ f(t) \\] = \dfrac{1}{\pi} \int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1}{u-t} f(t) dt]
画像処理等でよく用いられるウェーブレット変換は
[tex: \displaystyle \mathcal{W_{\psi}} \\[ f(t) \\] = \int^{\infty}\_{-\infty} \dfrac{1}{\sqrt{a}} \psi^{*} \left( \dfrac{t-b}{a} \right) f(t) dt ]
同じく画像処理などであらわれるメリン変換は
[tex: \displaystyle \mathcal{M} \\[ f(t) \\] = \int^{\infty}_{0} t^{u-1} f(t) dt]
音声処理等で使われる複素ケプストラム解析では
[tex: \displaystyle \mathcal{C_c} \\[ f(t) \\] = \dfrac{1}{2\pi} \int^{\pi}_{-\pi} \log \left( \mathcal{F}\\[f(t)\\] \right) e^{iut} du]
