つれづれなる備忘録

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Texによる数式表現30~ラプラス変換公式

 今回は積分変換として比較的有名なラプラス変換TeXによる数式表現について紹介する。フーリエ変換のときと同様に今回は基本的な公式のみを取り上げ、具体的な関数の変換例はこのシリーズの次回の記事に示すことにする。

1. ラプラス変換

ラプラス変換は実数t≥0で定義される領域において

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(t) \\] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} ds ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f(t) ] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} ds

ラプラス変換をあらわす記号Lはフーリエ変換と同様に\mathcal{L}とする。

ラプラス変換は制御工学や電気回路などを解くときの数学ツールとして使われることが多い。

2. ラプラス変換の公式

線形性

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ af(t)+bg(t) \\] = aF(s)+bG(s) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ af(t)+bg(t) ] = aF(s)+bG(s)

スケール則

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(at) \\] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f(at) ] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})

シフト則

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(t-a)u(t-a) \\] =e^{-as} F(s) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f(t-a)u(t-a) ] =e^{-as} F(s)

u(t)はヘビサイド関数。ヘビサイド関数の積がない形でのシフト則は

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(t+\lambda ) \\] =e^{\lambda s} \left( F(s) -\int_{0}^{\lambda} e^{-st}f(t) dt \right) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f(t+\lambda ) ] =e^{\lambda s} \left( F(s) -\int_{0}^{\lambda} e^{-st}f(t) dt \right)

ただしλ≥0

微分則は

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f'(t)) \\] =sF(s)-f(0) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f'(t)) ] =sF(s)-f(0)

2階微分

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f''(t)) \\] =s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f''(t)) ] =s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)

n階微分

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f^{(n)}(t)) \\] =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots - f^{(n)}(0) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f^{(n)}(t)) ] =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots - f^{(n)}(0)

積分

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \int_{0}^{t}f(\tau )d\tau \\] = \frac{1}{s}F(s) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ \int_{0}^{t}f(\tau )d\tau ] = \frac{1}{s}F(s)

n重積分

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \int\_{0}^{t} \int\_{0}^{\tau\_{n-1}} \cdots \int\_{0}^{\tau\_{1}}f(\tau )d\tau d\tau\_{1} \cdots d\tau\_{n-1} \\] = \frac{1}{s^{n}}F(s) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ \int_{0}^{t} \int_{0}^{\tau_{n-1}} \cdots \int_{0}^{\tau_{1}}f(\tau )d\tau d\tau_{1} \cdots d\tau_{n-1} ] = \frac{1}{s^{n}}F(s)

畳み込み積分

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ \int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du \\] = \mathcal{L} \\[ (f*g)(t) \\] = F(s)G(s) ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ \int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du ] = \mathcal{L} [ (f*g)(t) ] = F(s)G(s)

周期関数

[tex: \displaystyle \mathcal{L} \\[ f(t) \\] = \frac{1}{1-e^{-Ts}} \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) dt ]

 \displaystyle \mathcal{L} [ f(t) ] = \frac{1}{1-e^{-Ts}} \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) dt

ただしf(t)=f(t+T)の周期関数。

3. まとめ

 今回はラプラス変換と基本公式のTeX数式表現について取り上げた。フーリエ変換のように信号解析や測定器で使われるわけではないが、制御工学や電気回路の理論を習得する上ではよく出てくるので知っておくと役立つ場面はあると思う。