Texによる数式表現55～基本的な微分公式の活用4

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　Texによる数式表現方法として逆関数の微分公式から逆三角関数の微分の導出について紹介する。

1. 逆関数の微分公式

逆関数y=f^-1(x)の微分はx=f(y)として両辺を微分、合成部微分の公式を適用することで導ける。

[tex: \displaystyle  x=f(y) \rightarrow 1 =\frac{df(y)}{dy}\frac{dy}{dx} ]

$\displaystyle x=f(y) \rightarrow 1 =\frac{df(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$

[tex: \displaystyle  \frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy} ]

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{df^{-1}(x)}{dx}=\frac{1}{dx/dy} =\frac{1}{df(y)/dy}$

逆関数の微分公式は以下のように逆三角関数の微分を導く上で有用である。

sin^-1関数の微分

逆関数の微分公式を適用した後、xの表現に変換することで得られる。sin^-1xであればx=sin(y)を用いてcos(y)=(1-sin²y)^1/2=(1-x²)^1/2とする。

[tex:\displaystyle \frac{d \sin^{-1}x}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } }, -1\leq x \leq 1]

$\displaystyle \frac{d \sin^{-1}x}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } }, -1\leq x \leq 1$

cos^-1関数の微分

cos^-1xについてもsin^-1xと同様に導出できる。

[tex:\displaystyle \frac{d \cos^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{\sin y}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2} } }, -1\leq x \leq 1]

$\displaystyle \frac{d \cos^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{\sin y}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2} } }, -1\leq x \leq 1$

tan^-1関数の微分

[tex:\displaystyle \frac{d \tan^{-1}x}{dx}=\frac{1}{1/ \cos^{2} y}= \cos^{2} y = \frac{1}{1+\tan^{2} y}=\frac{1}{1+x^{2}}]

$\displaystyle \frac{d \tan^{-1}x}{dx}=\frac{1}{1/ \cos^{2} y}= \cos^{2} y = \frac{1}{1+\tan^{2} y}=\frac{1}{1+x^{2}}$

csc^-1,sec^-1関数の微分

[tex:\displaystyle \frac{d \csc^{-1}x}{dx}=\frac{-\sin^{2} y}{\cos y}]

$\displaystyle \frac{d \csc^{-1}x}{dx}=\frac{-\sin^{2} y}{\cos y}$

ここでx=1/sin yを用いてcos yを表現するには

[tex:\displaystyle \sqrt{ \frac{1}{\sin^{2} y}-1}=\frac{\cos y}{ |\sin y| } \rightarrow \cos y= \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}} ]

$\displaystyle \sqrt{ \frac{1}{\sin^{2} y}-1}=\frac{\cos y}{ |\sin y| } \rightarrow \cos y= \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}}$

よって

[tex:\displaystyle \frac{d \csc^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} ,|x|>1]

$\displaystyle \frac{d \csc^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} ,|x|>1$

sec^-1xについては上記と同様にx=1/cos yと置き換えて導出できる。

[tex:\displaystyle \frac{d \sec^{-1}x}{dx}=\frac{\cos^{2} y}{\sin y}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} ,|x|>1]

$\displaystyle \frac{d \sec^{-1}x}{dx}=\frac{\cos^{2} y}{\sin y}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} ,|x|>1$

cot^-1関数の微分

[tex:\displaystyle \frac{d \cot^{-1}x}{dx}=-\sin^{2}y]

$\displaystyle \frac{d \cot^{-1}x}{dx}=-\sin^{2}y$

ここで x = cos y/sin y

[tex:\displaystyle \sin^{2} y=\frac{1}{1+\cos^{2}y/ \sin^{2} y}=\frac{1}{1+x^{2}}]

$\displaystyle \sin^{2} y=\frac{1}{1+\cos^{2}y/ \sin^{2} y}=\frac{1}{1+x^{2}}$

ゆえに

[tex:\displaystyle \frac{d \cot^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{1+x^{2}}]

$\displaystyle \frac{d \cot^{-1}x}{dx}=\frac{-1}{1+x^{2}}$

　逆三角関数の微分を知っておくと、微分そのものというより特に積分するときに役立つことが多い