Texによる数式表現57～基本的な微分公式の活用6

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　Texによる数式表現方法としていくつかの基本的な微分公式から逆双曲線関数の微分公式の導出について紹介する。

1. 逆双曲線関数 sinh^-1の微分

逆関数を通常の関数形に戻して、合成関数とsinh関数の微分を利用して導出する。

[tex: \displaystyle y = \sinh^{-1} x \longrightarrow \sinh y = x]

$\displaystyle y = \sinh^{-1} x \longrightarrow \sinh y = x$

[tex: \displaystyle y^{\prime} \cosh y = 1 ]

$\displaystyle y^{\prime} \cosh y = 1$

ここで

[tex: \displaystyle    \cosh^{2} y  -  \sinh^{2} y = 1 \longrightarrow \cosh y=\sqrt{1+ \sinh^{2} y }  = \sqrt{1+ x^{2} }]

$\displaystyle \cosh^{2} y - \sinh^{2} y = 1 \longrightarrow \cosh y=\sqrt{1+ \sinh^{2} y } = \sqrt{1+ x^{2} }$

[tex: \displaystyle y^{\prime} = \frac{d \sinh^{-1} x}{dx} = \frac{1}{\cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} ]

$\displaystyle y^{\prime} = \frac{d \sinh^{-1} x}{dx} = \frac{1}{\cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

別の導出方法としてはy=sinh^-1xをxで直接表現する。

[tex: \displaystyle x=\sinh y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} ]

$\displaystyle x=\sinh y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$

ここで

[tex: \displaystyle 2x=e^{y}-e^{-y} \longrightarrow e^{2y}-2xe^{y}-1=0 ]

$\displaystyle 2x=e^{y}-e^{-y} \longrightarrow e^{2y}-2xe^{y}-1=0$

e^yについて2次方程式の解を求めると

[tex: \displaystyle e^{y}= {x \pm \sqrt{x^{2}+1} } ]

$\displaystyle e^{y}= {x \pm \sqrt{x^{2}+1} }$

ここでe^y>0 とすると符号は正、（負をとるとe^y<0）となり

[tex: \displaystyle y = \ln \left( x + \sqrt{x^{2}+1} \right) ]

$\displaystyle y = \ln \left( x + \sqrt{x^{2}+1} \right)$

次に上の式を微分すると

[tex: \displaystyle y^{\prime} = \frac{1+x /  \sqrt{x^{2}+1} }{ x + \sqrt{1+x^{2}} } = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} ]

$\displaystyle y^{\prime} = \frac{1+x / \sqrt{x^{2}+1} }{ x + \sqrt{1+x^{2}} } = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

その他は上と同じ要領で計算すればよいが、別解の方法は計算量が多くなるので、元の形に戻して合成関数の微分を適用した方が楽。

[tex: \displaystyle y = \cosh^{-1} x \longrightarrow \cosh y = x]

$\displaystyle y = \cosh^{-1} x \longrightarrow \cosh y = x$

[tex: \displaystyle y^{\prime} \sinh y = 1 ]

$\displaystyle y^{\prime} \sinh y = 1$

[tex: \displaystyle y^{\prime} = \frac{d \cosh^{-1} x}{dx} = \frac{1}{\sinh y} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} ]

$\displaystyle y^{\prime} = \frac{d \cosh^{-1} x}{dx} = \frac{1}{\sinh y} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

[tex: \displaystyle y = \tanh^{-1} x \longrightarrow \tanh y = x]

$\displaystyle y = \tanh^{-1} x \longrightarrow \tanh y = x$

[tex: \displaystyle y^{\prime}\frac{1}{\cosh^{2} y} = 1]

$\displaystyle y^{\prime}\frac{1}{\cosh^{2} y} = 1$

ここで

[tex: \displaystyle \cosh^{2} y = \frac{1}{1-\tanh^{2} y}=\frac{1}{1-x^{2}}]

$\displaystyle \cosh^{2} y = \frac{1}{1-\tanh^{2} y}=\frac{1}{1-x^{2}}$

[tex: \displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{1-x^{2}}]

$\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{1-x^{2}}$

　今回は逆双曲線関数の微分導出について紹介した。微分計算よりもルートを分母とする関数の積分計算をするときに逆双曲線関数の微分結果を知っておくと便利な場合が多そう。