今回はTexによる数式表現方法として、ばねの周期運動に抵抗が加わった場合、さらに強制振動が加わった場合の解法について紹介する。
1. 抵抗が加わったばねの運動方程式
抵抗を無視したばねの運動方程式を解くと単振動を永久に繰り返す解が得られる。実際の現象では、ばねの伸縮時の摩擦やおもりが空気抵抗によりどこかで振動は止まる。 ここでは主に空気抵抗のように速度に比例して働く抵抗力をばねの運動方程式に加えて解くことを考える。ここでmは物体の質量、kはばね定数、γは速度に比例する抵抗力の比例定数でいずれも正の値である。
[tex:\displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx-2\gamma\frac{dx}{dt} ]
これを以下のように変形すると斉次2階線形微分方程式であることがわかる。
[tex:\displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{2\gamma}{m}\frac{dx}{dt}+ \frac{k}{m}x = 0]
2. 抵抗が加わったばねの運動方程式の解
以前紹介したように
x(t)=Cexp (λ t)という解を仮定して、λを求めればよい。これを上の抵抗が加わったばねの運動方程式に代入するとλに関する2次方程式が得らえる。
[tex:\displaystyle \lambda^{2}+\frac{2\gamma}{m}\lambda+ \frac{k}{m} = 0]
2次方程式の解は
[tex:\displaystyle \lambda = -\frac{\gamma}{m}\pm \sqrt{ (\frac{\gamma}{m} )^{2} - \omega\_{0}^{2} }]
ここで固有振動数ω0= (k/m)1/2を用いた。仮定した解にλを代入すると
[tex:\displaystyle x(t)=C\exp \left( -\frac{\gamma}{m} t \right) \exp \left( \pm t\sqrt{ (\frac{\gamma}{m} )^{2} - \omega\_{0}^{2} } \right) ]
ここで、exp ( -γ/m t)は減衰するのでt →∞では必ずx(t)→∞0となる。一方で根号内部は(γ/m)2とω02の大小関係によって減衰となるか振動となるかが変わる。(γ/m)2>ω02では減衰が強いため原点を通過することなく、最後は原点にとどまることを示している。 (γ/m)2<ω02は根号内は虚数になることから、固有振動数から減衰の影響分ずれた角周波数
[tex:\displaystyle \omega\_{1}= \sqrt{ (\frac{\gamma}{m} )^{2} - \omega\_{0}^{2} } ]
で振動し、exp (-γ/m t)の減衰を受ける減衰振動であることがわかる。
3. 抵抗が加わったばねに強制振動を加えた運動方程式
強制振動を加える場合は、上の方程式の右辺に振動項を加えた非斉次2階線形微分方程式となる。
[tex:\displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{2\gamma}{m}\frac{dx}{dt}+ \frac{k}{m}x = f\_{1}\exp (i \omega t) ]
一般解については上の通りなので、特殊解について求める。特殊解をx(t)=Aexp(-iω t)と仮定して上の非斉次2階線形微分方程式に代入する
[tex:\displaystyle -\omega^{2} A + i2\frac{\gamma}{m} \omega A + \omega\_{0}^{2} A = f\_{1} ]
振幅Aについて解いた特殊解は
[tex:\displaystyle x(t) = \frac{f\_{1}}{\omega\_{0}^{2} -\omega^{2}+i2 \gamma \omega /m}\exp (i\omega t) ]
減衰を入れた効果により分母のi2γω/mによりω0=ωであっても振幅は有限な値に抑えられる。
なお一般解の減衰振動は、時間の経過とともに減衰するため十分に時間が経った後では上記の特殊解のみが残る。
4. まとめ
今回はexによる数式表現方法として、ばねの周期運動に抵抗が加わった場合、さらに強制振動が加わった場合の解法について紹介した。
