Texによる数式表現50～連立線形微分方程式の解法2

1. 連立1階微分方程式の行列表現
2. 行列の固有値、固有ベクトル
3. 考察・まとめ

　Texによる数式表現方法として前回とは別の行列を用いた連立1階微分方程式の解法について紹介する。

atatat.hatenablog.com

1. 連立1階微分方程式の行列表現

<div>
[tex:\displaystyle \begin{eqnarray}
       \frac{dy_{1}}{dx} &=& ay_{1}+by_{2} \\
       \frac{dy_{2}}{dx} &=& cy_{1}+dy_{2}   \end{eqnarray} ]
</div>

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{dy_{1}}{dx} &=& ay_{1}+by_{2} \\ \frac{dy_{2}}{dx} &=& cy_{1}+dy_{2} \end{eqnarray}$

を行列で表現すると以下のようになる。

<div>
[tex:\displaystyle \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix}
 =  \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} ]　
</div>

$\displaystyle \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix}$ 　

ここで

<div>
[tex:\displaystyle {\bf{y}} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix}  ,  {\bf{A}} = \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix}  ]　
</div>

$\displaystyle {\bf{y}} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \end{pmatrix} , {\bf{A}} = \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \\ \end{pmatrix}$ 　

とすれば

[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}} ]

$\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}}$ 　

2. 行列の固有値、固有ベクトル

　行列Aに対して対角化可能な行列Pが存在すると

<div>
[tex:\displaystyle {\bf{P}}^{-1} {\bf{A}} {\bf{P}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix} ]
</div>

$\displaystyle {\bf{P}}^{-1} {\bf{A}} {\bf{P}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix}$

ここでλ₁,λ₂はAの固有値である。また、行列Pは

<div>
[tex:\displaystyle{\bf{P}}=( {\bf{p_{1}}},{\bf{p_{2}}} ) = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\  p_{21} & p_{22} \\  \end{pmatrix} ]
</div>

$\displaystyle{\bf{P}}=( {\bf{p_{1}}},{\bf{p_{2}}} ) = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{pmatrix}$

固有値λ₁,λ₂に対する固有ベクトルからなる行列で、それぞれの固有ベクトルは以下を満たす。

[tex:\displaystyle {\bf{Ap\_{1}}}=\lambda\_{1}{\bf{p\_{1}}},  {\bf{Ap\_{2}}}=\lambda\_{2}{\bf{p\_{2}}}]

$\displaystyle {\bf{Ap_{1}}}=\lambda_{1}{\bf{p_{1}}}, {\bf{Ap_{2}}}=\lambda_{2}{\bf{p_{2}}}$

なお固有値は

[tex:\displaystyle \lambda\_{1,2}=\frac{1}{2} \left( (a+d)\pm \sqrt{(a+d)^{2}-4(ad-bc) } \right) ]

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{1}{2} \left( (a+d)\pm \sqrt{(a+d)^{2}-4(ad-bc) } \right)$

となる。

##3. 行列固有値を利用した連立線形微分方程式の解法

ここで以下を満たす新しい変数からなるベクトルzを定義する。

$\displaystyle {\bf{y}}={\bf{P}}{\bf{z}}$

$\displaystyle {\bf{z}} = \begin{pmatrix} z_{1}(x) \\ z_{2}(x) \\ \end{pmatrix}$ 　

両辺微分すると

[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx} ]

$\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx}$

また

[tex:\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}]

$\displaystyle \frac{d{\bf{y}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{y}} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}$

から

[tex:\displaystyle  {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}]

$\displaystyle {\bf{P}} \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}$

上にP^-1を作用させると

<div>
[tex:\displaystyle  \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{P}}^{-1}{\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix}{\bf{z}} ]
</div>

$\displaystyle \frac{d{\bf{z}}}{dx} = {\bf{P}}^{-1}{\bf{A}} {\bf{P}}{\bf{z}}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \\ \end{pmatrix}{\bf{z}}$

以下2本の単純な1次線形微分方程式になる。

[tex:\displaystyle  \frac{dz\_{1}}{dx} = \lambda\_{1}z\_{1},  \frac{dz\_{2}}{dx} = \lambda\_{2}z\_{2} ]

$\displaystyle \frac{dz_{1}}{dx} = \lambda_{1}z_{1}, \frac{dz_{2}}{dx} = \lambda_{2}z_{2}$

解はそれぞれ

[tex:\displaystyle  z\_{1} = C\_{1}\exp ( \lambda\_{1}x ),   z\_{2} = C\_{2}\exp ( \lambda\_{2} x ) ]

$\displaystyle z_{1} = C_{1}\exp ( \lambda_{1}x ), z_{2} = C_{2}\exp ( \lambda_{2} x )$

もともとy=Pzとしていたので、yは

<div>
[tex:\displaystyle {\bf{y}}= \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\  p_{21} & p_{22} \\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  C_{1}\exp ( \lambda_{1}x )  \\  C_{2}\exp ( \lambda_{2}x ) \\ \end{pmatrix} ]
</div>

$\displaystyle {\bf{y}}= \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{1}\exp ( \lambda_{1}x ) \\ C_{2}\exp ( \lambda_{2}x ) \\ \end{pmatrix}$

<div>
[tex:\displaystyle \begin{eqnarray}
       y_{1} &=& C_{1} p_{11} \exp ( \lambda_{1}x )+  C_{2}p_{12} \exp ( \lambda_{2}x )  \\
       y_{2} &=& C_{1} p_{21} \exp ( \lambda_{1}x )+  C_{2}p_{22} \exp ( \lambda_{2}x )   \end{eqnarray} ]
</div>

$\displaystyle \begin{eqnarray} y_{1} &=& C_{1} p_{11} \exp ( \lambda_{1}x )+ C_{2}p_{12} \exp ( \lambda_{2}x ) \\ y_{2} &=& C_{1} p_{21} \exp ( \lambda_{1}x )+ C_{2}p_{22} \exp ( \lambda_{2}x ) \end{eqnarray}$