Texによる数式表現48～線形微分方程式の解法7

1. 一般的な2階微分方程式の解法
2. 2階微分方程式における定数変化法
3. 定数変化法による解の導出
4. まとめ

　Texによる数式表現方法として前回は一般的な1階微分方程式の解法について紹介したが、今回は2階微分方程式の解法について紹介する。

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1. 一般的な2階微分方程式の解法

　以下のような一般的な2階微分方程式

[tex: \displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+P(x)\frac{df(x)}{dx}+Q(x)=R(x) ]

$\displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+P(x)\frac{df(x)}{dx}+Q(x)=R(x)$

は存在しない。しかし、いくつかの条件下では解くことができる。今回は以下のようなP(x),Q(x)は定数、R(x)は任意の関数とする非斉次2階微分方程式の解法について紹介する。

[tex: \displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+a\frac{df(x)}{dx}+b=R(x) ]

$\displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+a\frac{df(x)}{dx}+b=R(x)$

ばねなどに対してR(x)が三角関数の場合は、共振現象が生じるが、今回は任意の外力が加わるような形となる。

2. 2階微分方程式における定数変化法

　前回と同様に特殊解の定数部を関数とする定数変化法を用いる。

[tex: \displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+a\frac{df(x)}{dx}+b=0 ]

$\displaystyle \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}+a\frac{df(x)}{dx}+b=0$

特殊解を

[tex: \displaystyle y=c\_{1}y\_{1}(x)+c\_{2}y\_{2}(x) ]

$\displaystyle y=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)$

y_1,2は以下にようになる。

[tex: \displaystyle y\_{1,2}=\exp ( \lambda\_{1,2} x ) ]

$\displaystyle y_{1,2}=\exp ( \lambda_{1,2} x )$

ここで定数部分c_1,2,をu(x),v(x)に置き換えて

[tex: \displaystyle Y=u(x)y\_{1}(x)+v(x)y\_{2}(x) ]

$\displaystyle Y=u(x)y_{1}(x)+v(x)y_{2}(x)$

を非斉次2階微分方程式の解と仮定する。

3. 定数変化法による解の導出

　2階微分が入ることで1階微分方程式よりも多少式が冗長になるが、上で仮定したYの1階微分は

[tex: \displaystyle Y'=uy'\_{1}+vy'\_{2}+u'y\_{1}+v'y\_{2} ]

$\displaystyle Y'=uy'_{1}+vy'_{2}+u'y_{1}+v'y_{2}$

[tex: \displaystyle Y''=uy''\_{1}+vy''\_{2}+u'y'\_{1}+v'y'\_{2}+\frac{d}{dx}(u'y\_{1}+v'y\_{2}) ]

$\displaystyle Y''=uy''_{1}+vy''_{2}+u'y'_{1}+v'y'_{2}+\frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2})$

ここで

<div>
[tex: \displaystyle \begin{eqnarray} Y'' &+& aY'+bY = uy''_{1}+vy''_{2}+u'y'_{1}+v'y'_{2}+\frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2}) \\
&+& a(uy'_{1}+vy'_{2}+u'y_{1}+v'y_{2} ) + b(uy_{1}+vy_{2} )  \\ &=& u(y''_{1} + ay'_{1}+by_{1} ) + v(y''_{2} + ay'_{2}+by_{2} )  \\ 
&+& u'y'_{1}+v'y'_{2} +a(u'y_{1}+v'y_{2}) + \frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2}) \end{eqnarray} ]
</div>

$\displaystyle \begin{eqnarray} Y'' &+& aY'+bY = uy''_{1}+vy''_{2}+u'y'_{1}+v'y'_{2}+\frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2}) \\ &+& a(uy'_{1}+vy'_{2}+u'y_{1}+v'y_{2} ) + b(uy_{1}+vy_{2} ) \\ &=& u(y''_{1} + ay'_{1}+by_{1} ) + v(y''_{2} + ay'_{2}+by_{2} ) \\ &+& u'y'_{1}+v'y'_{2} +a(u'y_{1}+v'y_{2}) + \frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2}) \end{eqnarray}$

最初の2項についてはy_1,2は特殊解のためゼロとなるので、以下の項が残る。

[tex: \displaystyle u'y'\_{1}+v'y'\_{2} +a(u'y\_{1}+v'y\_{2}) + \frac{d}{dx}(u'y\_{1}+v'y\_{2})=R(x) ]

$\displaystyle u'y'_{1}+v'y'_{2} +a(u'y_{1}+v'y_{2}) + \frac{d}{dx}(u'y_{1}+v'y_{2})=R(x)$

さらに

[tex: \displaystyle u'y\_{1}+v'y\_{2}=0 ]

$\displaystyle u'y_{1}+v'y_{2}=0$

と仮定すると、以下を満たすu,vを求めることになる。

<div>
[tex: \begin{eqnarray} \left\{  \begin{array}{l}
       u'y_{1}+v'y_{2}=0 \\
       u'y'_{1}+v'y'_{2}=R(x)  \end{array} \right. \end{eqnarray} ]
</div>

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} u'y_{1}+v'y_{2}=0 \\ u'y'_{1}+v'y'_{2}=R(x) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

ここでロンスキアンW(y₁,y₂)を定義して、

[tex: W(y\_{1},y\_{2})=y\_{1}y'\_{2}-y'\_{1}y\_{2} ]

$W(y_{1},y_{2})=y_{1}y'_{2}-y'_{1}y_{2}$

上の連立方程式をu',v'について解くと

<div>
[tex:\displaystyle \begin{eqnarray}
       u' &=& - \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) \\
       v' &=& \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x)  \end{eqnarray} ]
</div>

$\displaystyle \begin{eqnarray} u' &=& - \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) \\ v' &=& \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) \end{eqnarray}$

u',v'をそれぞれ積分すればu,vが求まるので、もとのYは

[tex:\displaystyle Y=\left\\{ - \int \frac{y\_{2}}{W(y\_{1},y\_{2})}R(x) dx \right\\} y\_{1}+\left\\{ \int \frac{y\_{1}}{W(y\_{1},y\_{2}) }R(x) dx \right\\} y\_{2} ]

$\displaystyle Y=\left\{ - \int \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) dx \right\} y_{1}+\left\{ \int \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) dx \right\} y_{2}$

特殊解yと定数変化法Yの和をとり、定数項は不定積分に含めると

<div>
[tex:\displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\left\{ c_{1} - \int \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) dx \right\} y_{1}+\left\{ c_{2} +\int \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) dx \right\} y_{2} \\
& \longrightarrow  & \left\{ \int \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) dx \right\} y_{1}+\left\{\int \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) dx \right\} y_{2} \end{eqnarray} ]
</div>

$\displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\left\{ c_{1} - \int \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) dx \right\} y_{1}+\left\{ c_{2} +\int \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) dx \right\} y_{2} \\ & \longrightarrow & \left\{ \int \frac{y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}R(x) dx \right\} y_{1}+\left\{\int \frac{y_{1}}{W(y_{1},y_{2}) }R(x) dx \right\} y_{2} \end{eqnarray}$