Texによる数式表現9～ベクトル解析

1. ベクトル解析のTex表現

　今回はベクトル解析に出てくるTex数式表現について取り上げる。大学初等の電磁気学や流体力学などによく出てくる。

勾配表現

　3次元のベクトル空間を想定する。gradを含んだ表現は
[tex: \displaystyle \mathrm{grad}\psi=\left( \frac{\partial \psi}{\partial x}, \frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial z}\right)]

$\displaystyle \mathrm{grad}\psi=\left( \frac{\partial \psi}{\partial x}, \frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial z}\right)$

gradは特にコマンドはないが、イタリック表現にならないように\mathrm{grad}とする。

ナブラ記号を含む場合は、

[tex:\displaystyle \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)]

$\displaystyle \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$

コマンド\nablaを用いることで表現できる。

ラプラシアン記号Δ

$\displaystyle \Delta = \nabla^ 2=\left( \frac{\partial^ 2}{\partial x^ 2}, \frac{\partial^ 2}{\partial y^ 2}, \frac{\partial^ 2}{\partial z^ 2}\right)$

単純にDelta記号\Deltaを用いる。

ポアソン方程式は

[tex:\Delta \phi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}]

$\Delta \phi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$

ダランベルシアン記号□

[tex:\Box = \Delta -\dfrac{1}{c^ 2}\dfrac{\partial^ 2}{\partial t^ 2}]

$\Box = \Delta -\dfrac{1}{c^ 2}\dfrac{\partial^ 2}{\partial t^ 2}$

特別なコマンドはないので\Boxを割り当てて用いる。クライン・ゴルドン方程式は

[tex: \displaystyle \left( \Box+\left( \dfrac{mc}{\hbar}\right)^ 2 \right) \phi (\mathbf{x},t)=0]

$\displaystyle \left( \Box+\left( \dfrac{mc}{\hbar}\right)^ 2 \right) \phi (\mathbf{x},t)=0$

3. 発散・回転

発散を表すdivergent:divは

[tex:\mathrm{div} \mathbf{E}=\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}]

$\mathrm{div} \mathbf{E}=\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}$

gradと同じくmathrm{div}、太字は\mathbf{E}とした。

回転を表すrotation:rotはdivと同様に

[tex: \displaystyle \mathrm{rot}\mathbf{E}=\nabla \times \mathbf{E}=\left( \frac{\partial E_z}{\partial y}- \frac{\partial E_y}{\partial z}, \frac{\partial E_x}{\partial z}- \frac{\partial E_z}{\partial x},\frac{\partial E_y}{\partial x}- \frac{\partial E_x}{\partial y}\right)]

$\displaystyle \mathrm{rot}\mathbf{E}=\nabla \times \mathbf{E}=\left( \frac{\partial E_z}{\partial y}- \frac{\partial E_y}{\partial z}, \frac{\partial E_x}{\partial z}- \frac{\partial E_z}{\partial x},\frac{\partial E_y}{\partial x}- \frac{\partial E_x}{\partial y}\right)$

マクスウェル方程式一式は、以前の複数行の数式で紹介した方法と今回のものを組み合わせて

<div> [tex: \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} \mathrm{div}\mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E}+\dfrac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{x},t)}{\partial t}=0 \\ \mathrm{div}\mathbf{D}=\rho (\mathbf{x},t) \\ \nabla \times \mathbf{H}(\mathbf{x},t)-\dfrac{\partial \mathbf{D}(\mathbf{x},t)}{\partial t}=\mathbf{j}(\mathbf{x},t) \end{array} \right. \end{eqnarray} ]</div>

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} \mathrm{div}\mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E}+\dfrac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{x},t)}{\partial t}=0 \\ \mathrm{div}\mathbf{D}=\rho (\mathbf{x},t) \\ \nabla \times \mathbf{H}(\mathbf{x},t)-\dfrac{\partial \mathbf{D}(\mathbf{x},t)}{\partial t}=\mathbf{j}(\mathbf{x},t) \end{array} \right. \end{eqnarray}$