1. 複素解析のTex表現
今回は複素数の関数に関わる微分、積分などを扱う複素解析にあらわれるTex数式表現について紹介したい。
2. 複素数の基本表現
以前の記事で虚数単位を扱ったこともあるが、今回改めて示すと
[tex: z=x+iy]
特に書体を指定しなければ、イタリックに変換されるので虚数iはそのまま入力すればよい。共役複素数については
[tex: \overline{z}=x-iy, \quad z^{*}=x-iy]
上線で表記する場合は\overline
、アスタリスク*を使う場合は^{*}
を用いる。
実部・虚部は
[tex: \mathrm{Re}(z)=x, \quad \mathrm{Im}(z)=y]
Re, Imのみローマン体にする。あるいは
[tex: \Re z=x, \quad \Im z =y]
\Re
や\Im
を使うと複素数の実部、虚部を表す特殊なフォントになる。
[tex: r=|z|,\quad \theta=\mathrm{arg}\,z^{*}]
偏角をあらわすargをローマン体にして、さらに少しスペースを入れるため\,
を用いた。
3. 複素解析の公式・定理
コーシー・リーマンの微分方程式はにおいて
[tex:\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}]
アダマールの定理は
[tex:\displaystyle \frac{1}{r}=\overline{\lim_{n \to \infty}}\sqrt \\[ n \\] {|c_n|}]
極限limはlim{}
を用いる。上極限をあらわすには\overline|\lim{}}
とする。
n乗根の記号は本来\sqrt[n]{c}
とするが、[]がmarkdownと干渉するので\\[
として回避する。(2重で\
をいれないとだめ)
コーシーの定理は、
[tex:\displaystyle \int_C f(z)dz=0]
留数Resをあらわすには
[tex: \mathrm{Res} \\[ f ; a \\] ]
\[
でも回避できるが、左括弧と右括弧で大きさが揃わないという現象があらわれる。(Markdown編集モードにおいて)
[tex: \[ f ; a \] ]
]
[tex:\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n (z-a)^{n}]
[tex: \displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}d\zeta]