つれづれなる備忘録

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Texによる数式表現11~複素解析

1. 複素解析Tex表現

 今回は複素数の関数に関わる微分積分などを扱う複素解析にあらわれるTex数式表現について紹介したい。

2. 複素数の基本表現

 以前の記事で虚数単位を扱ったこともあるが、今回改めて示すと

[tex: z=x+iy]

 z=x+iy

特に書体を指定しなければ、イタリックに変換されるので虚数iはそのまま入力すればよい。共役複素数については

[tex: \overline{z}=x-iy, \quad z^{*}=x-iy]

 \overline{z}=x-iy, \quad z^{*}=x-iy

上線で表記する場合は\overlineアスタリスク*を使う場合は^{*}を用いる。
実部・虚部は

[tex: \mathrm{Re}(z)=x, \quad \mathrm{Im}(z)=y]

 \mathrm{Re}(z)=x, \quad \mathrm{Im}(z)=y

Re, Imのみローマン体にする。あるいは

[tex: \Re z=x, \quad \Im z =y]

 \Re z=x, \quad \Im z =y

\Re\Imを使うと複素数の実部、虚部を表す特殊なフォントになる。

極形式において絶対値、偏角

[tex: r=|z|,\quad \theta=\mathrm{arg}\,z^{*}]

 r=|z|,\quad \theta=\mathrm{arg}\,z^{*}

偏角をあらわすargをローマン体にして、さらに少しスペースを入れるため\,を用いた。

3. 複素解析の公式・定理

 コーシー・リーマンの微分方程式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)において

[tex:\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}]

\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}

アダマールの定理は

[tex:\displaystyle \frac{1}{r}=\overline{\lim_{n \to \infty}}\sqrt \\[ n \\] {|c_n|}]

\displaystyle \frac{1}{r}=\overline{\lim_{n \to \infty}}\sqrt [ n ] {|c_n|}

極限limはlim{}を用いる。上極限をあらわすには\overline|\lim{}}とする。 n乗根の記号は本来\sqrt[n]{c}とするが、[]がmarkdownと干渉するので\\[として回避する。(2重で\をいれないとだめ)

コーシーの定理は、

[tex:\displaystyle \int_C f(z)dz=0]

\displaystyle \int_C f(z)dz=0

留数Resをあらわすには

[tex: \mathrm{Res} \\[ f ; a \\] ]

 \mathrm{Res} [ f ; a ]

\[でも回避できるが、左括弧と右括弧で大きさが揃わないという現象があらわれる。(Markdown編集モードにおいて)

[tex: \[ f ; a \] ]

  [ f ; a ]

ローラン展開

[tex:\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n (z-a)^{n}]

\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n (z-a)^{n}

[tex: \displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}d\zeta]

 \displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}d\zeta